فعالیت توان گویا ریاضی دهم - رابطه اصلی
حاصل $a^{\frac{m}{n}}$ که $a>0$ و $n$ و $m$ دو عدد طبیعی هستند را چگونه حساب می‌کنیم؟
در مبحث توان با نماهای طبیعی یادتان هست چگونه عمل کردیم؟ (قاعده ضرب توان)
$$2^6 = 2^{3 \times 2} = (2^3)^2$$
در مورد توان‌های گویا هم می‌توانیم به طریق مشابه عمل کنیم:
$$2^{\frac{3}{2}} = 2^{3 \times \frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2^3}$$
$$5^{\frac{8}{3}} = 5^{8 \times \frac{1}{3}} = (5^8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5^8}$$
به طور کلی:
هرگاه $a>0$ برای هر دو عدد طبیعی $m$ و $n$، $a^{\frac{m}{n}}$ را چنین تعریف می‌کنیم:
$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$
اگر $a>0$ و $n$ و $m$ دو عدد طبیعی باشند، $a^{-\frac{m}{n}}$ به صورت زیر تعریف می‌شود:
$$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 60 ریاضی دهم - رابطه اصلی
این بخش به معرفی مفهوم **توان گویا** می‌پردازد که پلی است بین قوانین **توان** و **رادیکال**. با این تعریف، دیگر نیازی به قوانین جداگانه‌ای برای رادیکال‌ها ندارید، چون همه‌ی آن‌ها از قوانین توان پیروی می‌کنند.
### **تعریف توان گویا ($\mathbf{a^{\frac{m}{n}}})$**
**سوال:** حاصل $a^{\frac{m}{n}}$ را چگونه حساب می‌کنیم؟
**توضیح:** برای تبدیل یک عبارت با **نمای کسری** (توان گویا) به یک عبارت **رادیکالی**، باید به سه جزء توجه کنید:
1. **پایه ($a$):** همان **زیر رادیکال** باقی می‌ماند.
2. **صورت کسر ($m$):** همان **توان** زیر رادیکال می‌شود (توان داخلی).
3. **مخرج کسر ($n$):** همان **فرجه** رادیکال می‌شود.
$$\mathbf{a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}}$$
**شرط مهم:**
* این تعریف برای $\mathbf{a > 0}$ ارائه شده است تا از مشکلات مربوط به تعریف نشدن رادیکال‌های با فرجه زوج برای اعداد منفی جلوگیری شود.
* اگر فرجه $n$ زوج باشد و $a$ مثبت باشد، رادیکال همیشه تعریف شده است.
### **تعریف توان گویای منفی ($\mathbf{a^{-\frac{m}{n}}})$**
**توضیح:** همانند توان‌های صحیح، توان منفی نیز به معنای **معکوس** کردن پایه است. ابتدا عبارت را با توان مثبت می‌نویسیم و سپس تبدیل به رادیکال می‌کنیم:
$$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}}$$
**خلاصه‌ی روابط:**
$$\text{توان} \quad a^{\frac{m}{n}} \quad \longleftrightarrow \quad \sqrt[n]{a^m} \quad \text{رادیکال}$$
فعالیت توان گویا ریاضی دهم - تمرین ۱
اکنون شما اعداد توان‌دار زیر را به شکل رادیکال بنویسید و در صورت امکان حاصل آن‌ها را به دست آورید.
الف) $5^{\frac{3}{2}}$
ب) $8^{\frac{1}{4}}$
پ) $3^{\frac{7}{2}}$
ت) $16^{-\frac{1}{4}}$
ث) $64^{\frac{1}{6}}$
ج) $81^{\frac{1}{4}}$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 60 ریاضی دهم - تمرین ۱
ما از تعریف $\mathbf{a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}}$ و قانون توان منفی استفاده می‌کنیم.
1. **الف) $\mathbf{5^{\frac{3}{2}}}$**
* **تبدیل:** $5^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{5^3} = \sqrt{125}$
* **ساده‌سازی:** $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \mathbf{5\sqrt{5}}$
2. **ب) $\mathbf{8^{\frac{1}{4}}}$**
* **تبدیل:** $8^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{8^1} = \mathbf{\sqrt[4]{8}}$
* **حاصل:** قابل ساده‌سازی نیست.
3. **پ) $\mathbf{3^{\frac{7}{2}}}$**
* **تبدیل:** $3^{\frac{7}{2}} = \sqrt[2]{3^7}$
* **ساده‌سازی:** $3^7 = 3^6 \times 3$. $\sqrt{3^7} = \sqrt{3^6 \times 3} = 3^3 \sqrt{3} = \mathbf{27\sqrt{3}}$
4. **ت) $\mathbf{16^{-\frac{1}{4}}}$**
* **تبدیل توان منفی:** $16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{4}}}$
* **تبدیل به رادیکال:** $\frac{1}{\sqrt[4]{16^1}}$
* **محاسبه:** $\sqrt[4]{16} = 2$. $\frac{1}{2}$
* **حاصل:** $\mathbf{\frac{1}{2}}$
5. **ث) $\mathbf{64^{\frac{1}{6}}}$**
* **تبدیل:** $64^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{64}$
* **محاسبه:** $2^6 = 64$
* **حاصل:** $\mathbf{2}$
6. **ج) $\mathbf{81^{\frac{1}{4}}}$**
* **تبدیل:** $81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81}$
* **محاسبه:** $3^4 = 81$
* **حاصل:** $\mathbf{3}$
فعالیت توان گویا ریاضی دهم - تمرین ۲
هر یک از عبارت‌های زیر را به شکل رادیکالی نوشته و در صورت امکان حاصل آن‌ها را به دست آورید.
$$\mathbf{2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}} \quad \quad \quad \quad \mathbf{32^{\frac{1}{5}} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \quad \mathbf{64^{\frac{1}{6}} = \underline{\hspace{1cm}}}$$
$$\mathbf{5^{\frac{1}{2}} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \quad \mathbf{64^{\frac{1}{3}} = \underline{\hspace{1cm}}} \quad \quad \quad \quad \mathbf{81^{\frac{1}{2}} = \underline{\hspace{1cm}}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 60 ریاضی دهم - تمرین ۲
این تمرین بر ساده‌ترین حالت توان گویا (که صورت کسر $m=1$ است) تمرکز دارد. در این حالت، $\mathbf{a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}}$ است.
1. **$$\mathbf{32^{\frac{1}{5}}}$$**
* **تبدیل:** $32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32}$
* **محاسبه:** $2^5 = 32$
* **حاصل:** $\mathbf{2}$
2. **$$\mathbf{64^{\frac{1}{6}}}$$**
* **تبدیل:** $64^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{64}$
* **محاسبه:** $2^6 = 64$
* **حاصل:** $\mathbf{2}$
3. **$$\mathbf{5^{\frac{1}{2}}}$$**
* **تبدیل:** $5^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{5^1} = \mathbf{\sqrt{5}}$
* **حاصل:** قابل ساده‌سازی نیست.
4. **$$\mathbf{64^{\frac{1}{3}}}$$**
* **تبدیل:** $64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64}$
* **محاسبه:** $4^3 = 64$
* **حاصل:** $\mathbf{4}$
5. **$$\mathbf{81^{\frac{1}{2}}}$$**
* **تبدیل:** $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{81} = \sqrt{81}$
* **محاسبه:** $9^2 = 81$
* **حاصل:** $\mathbf{9}$
**پاسخ‌های کامل:**
$$\mathbf{2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}} \quad \quad \quad \quad \mathbf{32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2} \quad \quad \quad \quad \mathbf{64^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{64} = 2}$$
$$\mathbf{5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}} \quad \quad \quad \quad \mathbf{64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4} \quad \quad \quad \quad \mathbf{81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9}$$
